第二章 策略游戏和问题解决
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尽管笑话的娱乐性很强，但由于它们极富创意，
并且挑战人们的推理能力，所以它们的意义不仅在于搞笑；
正如J.E.李特尔伍德所说，
一个好的数学笑话要比一堆平庸的论文更有价值。
——马丁·加德纳
游戏的分类方法很多，分类标准各异，比如游戏地点、玩家人数、游戏时长、难易程度等等。从数学角度来看，我们可以将游戏分为两类，其依据因素是运气。运气因素的呈现形式有很多，有时会包含在游戏的起始条件中，有时会左右某些特定的环节。举例来说，在大多数纸牌游戏中，纸牌都是随机发给不同的玩家；多米诺骨牌也是如此，其摆放分布也是随机的。而恰恰相反的是，棋盘的初始布局都是既定的，而且一直不变。在这样的情况下，就没有运气因素的干扰，各位玩家可以在一系列可能中自由决定自己的路数。然而，其他游戏往往都包含运气因素，比如玩家需要掷一次或多次骰子，并根据掷得的点数来决定自己下一步该怎么走。
19世纪的多米诺骨牌。在多米诺骨牌游戏中，只有在玩家摸牌的时候，运气才会起到干扰作用。其余的完全要看玩家的游戏技巧
“策略游戏”一词指的是不含运气因素的游戏。玩家完全靠自己的决策来玩游戏。既然没有运气因素，我们就可以对这类游戏进行分析，找到制胜策略。在某些情况下，我们可以为游戏制定一套完整的策略，而其他时候却并非如此，因为这些游戏往往比较复杂，不过对某个玩家来说，这样的策略还是有可能存在的。尽管这些游戏及其策略多种多样，但我们在分析它们的时候只能用到一小部分数学技巧和概念，而且主要涉及算术（即编号系统和可分性）和几何（即平衡状态，主要是对称性）领域。
制胜策略的概念
尽管在数学术语中，“游戏”既可以指游戏本身（即玩家有两人或两人以上，有既定的规则和目标，可以判断出哪位玩家胜出），也可以指谜题，但从现在开始，我们只取其第一种含义，以便于探讨两人或多人游戏。我们可以按不同的方式来对这些游戏进行分类，但是从数学角度来讲，最基本的划分方法是将其分为两大类：有限博弈和包含运气因素的博弈。在本章中，我们将前者称为“策略游戏”，将后者称为“运气游戏”。
我们在玩游戏的时候，对游戏的运作方式了如指掌，但问题在于，怎么玩才能每次都赢。对于纯靠运气的游戏（例如蛇梯棋）来说，这个问题根本无从谈起，因为玩家和棋子如何行动完全取决于骰子的点数、棋子的位置，以及游戏的规则；更确切地说，玩家根本没有做决策的机会，没有更好或更差的玩法。这类游戏的结果完全看运气，这样一来，要想通过分析游戏找到制胜策略是根本不可能的。为此，我们可以说，从数学角度来看，这类游戏毫无乐趣可言。
与之相反的是有限信息博弈。不管游戏进行到哪一步，我们都有可能知道所有可能的走法，以及接下来的结果（至少在理论上如此），没有任何运气因素的影响。在我们的文化当中，尽管策略游戏多种多样，既包括传统类型的（例如非洲棋、国际跳棋、井字游戏等），也包括更加现代的（例如六贯棋、尼姆游戏、黑白棋、角力棋等），但是最能体现这一特点的是国际象棋。
当我们分析这类游戏时，制胜策略的概念应运而生。制胜策略就是一系列条件，如果具备了这些条件，（通常在双人游戏中的）某位玩家就能在某个既定时刻，根据对方的行动及时地做出决策，从而确保不管对方接下来怎么做，自己都能胜出。制胜策略存在的前提是，游戏进行到最后，总会有一方胜出。不过，有的时候也并非全然如此，有些游戏也可能出现平局，比如国际象棋。请注意，在这种情况下，我们的策略就不是为了一定赢，而是为了不输。如果某个策略游戏不会产生平局，那我们就能根据游戏的特点，确定第一位或者第二位玩家是否有制胜策略。然而，这并不意味着我们一定能制定出这样的策略，还要看游戏的复杂程度。
假设某双人游戏具备以下特点：
这幅中国画来自元代（13至14世纪），上面的人在下围棋