合作博弈、伙伴关系和收益分配
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接下来，我们要分析一系列有关n人博弈的具体情境，每种情境的难度逐渐增大。我们假设参与者在博弈之前能够相互沟通并达成协议。跟之前一样，我们要研究的是，哪些联盟方式是可行的，能确保其收益分配让所有的联盟成员都满意，并决定继续下去。
案例1
三位商人安娜（A）、碧翠斯（B）和塞德里克（C）在达成交易后，需要分配20万英镑的收益。他们决定遵照简单多数的原则。每人有一票投票权，至于分配如何实施没有其他限制。要实现简单多数决，有四种可能的联盟方式：ABC、AB、AC和BC。然而，每一种方式都包括多种不同的收益分配方案。安娜提议的分配方案是：A=68000英镑，B=66000英镑，C=66000英镑。碧翠斯提议了另一种对她和塞德里克有利的方案：A=60000英镑，B=70000英镑，C=70000英镑。而塞德里克又提出了第三种方案：A=70000英镑，B=0英镑，C=130000英镑，增加了他自己和安娜的收益。我们之前说过，这类提议还有很多很多，似乎任何联盟方式都无法让三人满足。该博弈没有均衡点，每一项提议都可以被另外一个人加以修改，从而形成新的伙伴关系，并增加合作各方的收益。
在具有伙伴关系的合作博弈中，“解决方案”就是一种稳定的伙伴关系和收益分配方式。也就是说，它能确保联盟成员之间达成令各方均能满意的协议。
案例2
现在我们假设，刚才的分配问题需要跟每个人的投资相匹配。比方说，安娜现在有五票，碧翠斯有三票，塞德里克有一票。那么要决出多数票，可能的联盟方式有：ABC、AB、AC和A。由于安娜的选票占多数，她就可以提出一种让自己获得全部收益的方案：A=200000英镑，B=0英镑，C=0英镑。尽管这种分配并不公平，但却十分稳定。安娜一定会赞成，没有她就不可能形成伙伴关系；这样一来，该方案就满足了我们之前提出的定义。在这类博弈中，如果博弈各方以理性的方式行事，并且独立于其他人的决定，那么其对弈值就是各方一定能够获得的收益。在案例1中，我们无法确保任意一方所能获得的收益，那么该博弈的对弈值就是：A=0，B=0，C=0。而案例2的对弈值则为：A=100，B=0，C=0。
案例3
现在我们将问题进一步复杂化，从而使其更接近现实情况。选举时，五个政党拥有81个席位，分配情况如下：A=33，B=24，C=15，D=6，E=3。鉴于各政党都没有绝对多数的优势（41票），他们就需要结成伙伴关系或者联盟来组成政府。联盟方式将决定预算的分配和责任的分担。我们不考虑思想上的倾向性，并且假定政府职务的重要性取决于他们所承担的预算数额。最后，选举严格按原则进行。
在所有可能的政治伙伴关系中（五党联合的有1种，四党联合的有5种，三党联合的有10种，两党联合的有10种，一党独行的有5种），可行的有16种。由于各个政党没有多数优势，那任一党派的对弈值就是0，因为在建立具有执政能力的联盟过程中，任何政党都不是必不可少的。
数学家、经济学家劳埃德·沙普利就上述情境提出了一个分配体系，即在某些伙伴关系当中，某一方的参与是具有决定性意义的（如果该方退出，该伙伴关系将不再具有决胜优势），而博弈各方的对弈值就与会此类可能获胜的伙伴关系的数量成正比。博弈各方由此获得的收益值就叫作沙普利值。如果一方对于其所在联盟的决胜优势来说可有可无，那么该方就不具有决定性意义。
在我们的案例中，各政党共同结盟，任何一方都没有决定性意义，而在BCDE联盟中，B和C是有决定意义的，因为要是其中任一一方退出，那剩余各方的联盟就不再拥有多数席位了（如果B退出，该联盟就只剩24个席位；如果C退出，则只剩33个席位）。而另一方面，D和E是没有决定性意义的，因为即使其中一方退出，剩余各方的联盟依然拥有多数席位（如果D退出，该联盟还有42个席位；如果E退出，还有45个席位）。我们可以依据这些条件来计算出各个政党起决定性作用的联盟数量，并将结果形成如下表格：
劳埃德·斯托韦尔·沙普利（1923-2016）
沙普利，美国杰出的数学家和经济学家，对博弈论做出了大量贡献，具有奠基性的意义。他曾在哈佛大学学习数学，并在“二战”期间担任空军中士，前往中国支援，之后返回校园，并于1948年毕业。他在兰德公司工作过一年，并于1953年从普林斯顿大学获得博士学位，当时多名最杰出的博弈论专家都在那里任教。之后，他再次回到兰德公司工作，直到1981年，他到美国加州大学洛杉矶分校担任教学工作。
他早在博士论文中，就已经开始介绍一些像沙普利值这样的理念，并且在长期的工作生涯中，继续发表自己最初的研究成果。1979年，他加入了美国国家科学院，一生多次获奖，其中包括1981年荣获的约翰·冯·诺依曼理论奖。
在这些情况下，我们可以按照沙普利提出的方法来分配收益。如果所有政党同时结盟，且预算为26亿英镑，那么按沙普利值所做出的分配方案（单位：百万英镑）为：
A=1000
B=600
C=600
D=200
E=200
在任何一种其他的联盟方式中，每一个参与政党所得预算的计算方法是一样的，但是数额一定会高于这种联盟方式的所得。这种分配提议所给出的解决方案是稳定的，但不是唯一的，还有多种其他的可能。然而，不管怎样，在任何一种联盟形式中，只要以这种方式来分配预算，那么其他任何可能的稳定方案都无法向各个政党分配更高的预算。
不管是冯·诺依曼还是沙普利，按照他们提出的方法，一方面，解决方案不是只有一个估值，而是由一系列估值共同构成，另一方面，我们可以设置一些条件，从而有可能确定某些估值是否可以被囊括于该解决方案当中。
总览最后两章，你会发现，我们分析的情况越来越复杂，越来越接近现实情境，而我们在尝试解决这些问题时所运用的数学方法却越来越不可靠了。这并不是说这些方法不再有效，只是在现实情境中，冲突与合作相结合，每种情况都有某些具体的特点。这说明，我们在用数学方法去尝试解决这些问题时，必须要考虑到，这些方法是否有效，还要看这些问题的具体特点。