对“数”的批判
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在第一章最后一段，亚里士多德说，如果数学的对象——数、点、线、面等是存在的，它就只能是：
1.存在于可感觉的对象之中；
2.和可感觉的事物分离存在；
3.如果不是以上两种，则它或是不存在，或是以另一种特殊的方式存在。
他说，所以，我们不是研究它们是不是存在，而是研究它们如何——以哪一种方式存在。（注：1076a32—37。）由此可见，亚里士多德并不是认为“数”不存在，他认为“数”是存在的，问题只在于“数”以什么方式存在。亚里士多德是主张上述第一种意见的，即认为数学的对象只能存在于具体的可感觉的事物之中，所以他着重批判的是第二种意见，即认为数学的对象是在可感觉事物以外独立分离地存在着的。以下的批判，都是针对这第二种的。
但是，要理解亚里士多德批判数学对象和“理念”是本体的理论，关键的问题是要将我们现代人的思想和古代希腊人的思想分别开来。我们现在都知道，像数学的对象——数、点、线、面等以及“理念”，都是抽象的东西，说它们“存在”，也只是抽象的存在，和具体事物的存在是不同的。几何学上的面、线、点，和实际事物的面、线、点是不同的存在；“人的理念”和一个一个的人是不同的存在。我们只能看到一个一个的人——张三、李四是这样实际地存在着，而“人的理念”就不能像张三、李四那样实际地存在，“人的理念”只能是抽象地存在着。它本来是只能存在于张三、李四这些具体的人之中，不能离开这些具体的人而独立存在的，只是我们的思想可以将它从具体事物中抽象出来。所以，数学的对象和“理念”都只能是抽象的存在。
但是，当时的希腊人还不认识抽象。所以，他们以为：既然这些东西存在，它们就只能是像具体事物一样地存在，而且是比具体事物更真实地存在。他们所说的“独立分离”的存在，就是像一个个具体事物一样的存在——张三和李四当然是独立分离地存在着的，他们是不同的个体。古希腊人以为“理念”也是这样独立分离地存在的，所以在张三、李四之外，还有“人的理念”也独立分离地存在着。亚里士多德正是从这点上来批判他们的。他在这个批判中认识到：像数学对象和理念这类东西，只能存在于具体之中，或者只能由人的思想将它们抽象出来。这就是一般和个别的关系、抽象和具体的关系。在亚里士多德以前，人们分不清这种关系，是亚里士多德第一个认识到这一点。这标志着人类思想的一次重要的前进。这个结论，正是亚里士多德在《形而上学》第十三、十四卷中批判数学对象和理念论时得到的。——本来应该等到本章的结论中才来说明这个道理，但如果在开始的时候不说明这一点，如果还是用我们现代人的思想去看这个问题，以下这些批判的论证就都是不能理解的。
第二章开始，亚里士多德说：我们在提出问题（《形而上学》第三卷）时已经说过，说数学对象在可感觉的事物中存在，是不可能的。因为那样就是两个实体（一个是数学对象，一个是可感觉的事物）存在于同一个地方了，这是不可能的（注：参看B，998a7—19。）；如果那样，别的能力、特性也都在可感觉事物中存在了。而且还有一个理由：如果任何物体是可分的话，它就会分成面，面又分成线，线又分成点，而点却是不能分的；这样，线也不可分，面也不可分，体也不可分了。我们说可感觉的事物就是这样不可分的实体，或者说不是它们自己不可分，而是在它们之中有不可分的实体，这两种说法有什么不同呢？结果是一样的。所以，如果可感觉事物是可分的，则体、面、线、点既然在可感觉事物之中，它们也应该是可分的。（注：1076a38—b11。）然而数学对象又是不可分的，它们怎么能在可分的可感觉事物之中呢？这里，亚里士多德批判的，就是那种将数学对象也当作是和具体事物一样的实体，也占空间。所以，如果说数学对象存在于具体事物之中，那就是两个实体占了同一个空间了，这是不可能的。如果数学对象是不可分的，而具体事物又是可分的，说不可分的实体是在可分的实体之中存在，更是不可能的。（这也还是由于不能区别抽象和具体。）
但是，他接着说，如果说数学对象是在可感觉事物以外独立分离地存在的，也是不可能的。他提出了以下的批判论证：
第一个论证。他说，如果在可感觉的体以外还有另外一个（数学对象的）体，它是和可感觉的体分离存在，并且是先于可感觉的体的，那么，按照同样的理由，就应该还有分离独立存在的面、线和点。这样，在可感觉的事物的体、面、线、点之外，还有一组数学对象的体、面、线、点存在。而在这两组分离存在的东西以外，还应该会有别的东西也是分离存在着。因为任何组合成的事物都是由某些东西（因素）组合成的，如果这些组合因素是在这个组合物以外分离存在，并且先于组合物的，那样就会得出结论。第一，可感觉的物体是由数学的体组成的，所以数学的体是先于可感觉的体，并且和它分离存在的。这样就有两个“体”了。第二，体是由面、线、点组成的，这样，在数学的面、线、点以外还有另外一类面、线、点存在，就有三个“面”了。第三，面又是由线、点组成的，就得再有另一类线和点，这样就有四个“线”了。第四，线是由点组成的，又得再有一类点。这是第五个点。这样一来，就有了两个体、三个面、四个线、五个点了。它们都是各自分离存在的。在这些之中，数学究竟研究哪一个呢？（注：1076b12—36。）而且，同样的论证可以应用到“数”上去。“数”作为单位，就有和实在的数分离存在的数，有和感觉对象的数分离的数，有和思想对象的数分离的数。这样，就会有许多不同种类的数了。（注：1076b36—39。）——这论证的意思是：如果认为数学的对象——体、面、线、点和数——是和实际的（可感觉的）体、面、线、点、数相互分离，独立存在的，那么，按照同样的理由（组合物和组成它的因素是分离的），就要得出许多组不同类的东西都是分离存在的。这当然是荒谬的。
第二个论证。如果这些几何学的对象（体、面、线、点）和可感觉的对象是分离存在的，那么，天文学的对象（它也是科学的对象，在这点上，和数学的对象是一样的）也应该和可感觉事物分离存在了。天文学的对象是天体及其部分，难道它们能和我们看到的（感觉到的）天体及其部分分离存在吗？同样，光学和声学的对象也要和我们可以感觉到的光线和声音分离存在了，别的感觉的对象也可以分离存在。为什么这一组感觉对象能分离，而那一组感觉对象不能分离呢？那样就会有另外一类具有和我们的感觉不同的感觉的动物——也就是和实在的动物不同的动物了。（注：1076b39—1077a9。）——亚里士多德先从对象方面说，如果任何一种科学的对象和它所研究的那种具体事物是两类彼此分离存在的东西，那么，天文学所研究的天体就不是我们感觉到的这个天体了。别的感觉对象也都是一样。他然后再从感觉的主体说，既然这样的感觉和我们具体的感觉不一样，就得有一个和通常的感觉主体——动物不一样的另外一类感觉的主体——另外一类动物了。这也是荒谬的。
第三个论证。如果按照上述论证，则一般的数学公理也将是一种独立分离存在的东西了。它不但和“理念”分离存在，而且也和作为“中间体”的数学对象分离存在。（当时柏拉图学派的人认为数学对象是介于“理念”和具体事物之间的“中间体”。）它们（数学公理）将既不是数，也不是点，不是空间的量，也不是时间。而这是不可能的，因为数学公理当然是不能离开数、点等等而存在的。所以，这些东西不应该和可感觉事物分离存在。（注：1077a9—14。）
第四个论证。他说，一般地说，如果人们认为数学的对象是作为这样分离的实体而存在，那既不合乎真理，也违背常识。因为，如果它们这样存在，它们就必然是先于可感觉的空间的大小了，但事实上，它们却是在后的。因为数学的空间的量，在亚里士多德看来，乃是尚未组合成的（即潜在的）量，只有我们感觉到的量才是已经组合成的（即现实的）量。从发生上看，未组合成的先于已组合成的；而从本体性上说，却是已组合成的先于未组合成的，正像生物先于无生物一样。（注：1077a14—20。）——这个论证，和他论证现实和潜能的先后关系是一样的。从发生上说，潜能先于现实，但从本体性上说，现实先于潜能。亚里士多德实际上是将数学的对象——抽象的、一般的数、体、面、点、线等认为是潜能的存在，而在具体事物中的数、体、面、线、点则是现实的存在。
第五个论证。他说，如果数学的量和可以感觉的量是两种分离独立存在的实体。那么，数学的量怎么能成为统一的东西呢？它们是由于什么，以及在什么时候成为统一的？因为，在我们的可感觉的世界中的东西各自成为统一体，乃是由于我们的灵魂、灵魂的部分或某种别的理性的因素，它们才成为统一的。（这种将可感觉事物的统一的原因归于灵魂或理性，或许就是指第七卷所说的定义的统一性，因为本体的公式是由灵魂认识的。）如果灵魂、理性的东西不存在，它们就是多而不是一，就分裂成一些部分。可是数学的对象，它本身是可分的量，又是什么东西造成它们的统一呢？（注：1077a20—24。）——这也是因为将它们看成是两种互相分离的实体。造成其中之一类实体统一的原因的东西（灵魂、理性的东西），就不能是造成另一类实体统一的原因。
第六个论证。从数学对象生成的方式说，也说明我们是正确的。因为最先生成的是长度，然后是宽度，最后是深度，到这里，过程完成了。那在发生的次序上在后的东西，从本体性上说，却是在先的。从发生上说，是由点到线到面到体的；但从本体性上说，体却先于面、线、点。因为体是完全的整体，是有生命力的，而线或面能有什么生命力呢？这是我们看不出来的。（注：1077a24—31。）——这就是说，如果将点、线、面和体分离出来，成为独立存在的实体，它们算是一个什么东西呢？面、线、点根本不能算是一个实体。因为，他说，“体”是一种已经完成的东西，可以说是一种本体。而线怎么能说是本体呢？它既不像灵魂那样可以说是形式，也不像体那样可以说是质料。因为我们从来没有经验过将面、线、点合在一起就成为某种东西了，如果它们是质料，就应该可以这样做。（注：1077a31—36。）所以，面、线、点不同于质料。这就是说，“体”多少还可以被认为是一种本体，而面、线、点，既不是形式，也不是质料，怎么能说它们是本体——一种独立存在的实体呢？
第七个论证。即使说数学的对象在定义上（逻辑上）是在先的，也不能说凡是定义上在先的东西，在本体性上也是在先的。亚里士多德说明：所谓本体性上在先的，就是说，当它和别的事物分离时，它更具有独立存在的能力；而那些在定义上在先的东西，并不都具有这样的能力。定义总是由两个以上的东西组成的，这两个东西并不是一致的。他举例说，比如“苍白的人”，“苍白”这个属性在定义上是先于“苍白的人”的；但从本体性上说，却不能这样说，因为“苍白”是不能独立分离存在的。“苍白”这个属性总是跟那个具体的事物——“苍白的人”连在一起。所以不能说那抽出来的“苍白”是在先的，而那个加添了规定性的“苍白的人”就是在后的。（注：1077a36—b11。）——凡是定义上（逻辑上）在先的东西，不一定就是本体上在先的东西。所谓“本体上在先”，亚里士多德又加了说明，就是更能够独立存在的东西。他举的例子是属性——苍白，实际上，他认为在这点上，数学对象和属性是一样的。它们都可以是定义上在先，却并不是在本体性上在先。“数”也是一种性质（量），在逻辑上说，它是组成具体事物的因素，所以是在先的；但从本体性上说，它并不在先，并不能独立存在。在这点上，数学对象和事物的属性是一样的。
由上面这些论证，亚里士多德作出结论说：我们已经充分地指出了：数学对象不是比物体更高级的本体，只能在定义上是在先的，在本体性上却不能先于可感觉的物体，它们也不能在哪一个地方独立分离地存在。他又进一步解释说：上面已经说过，它们不可能作为独立存在的实体而存在于可感觉的事物之中（注：1076a38—b11。），现在又说它们不能在可感觉的事物之外独立存在。那就只能是，或是它们根本不存在，或是它们以另一种特殊的方式存在。它们不是绝对无条件地存在的，因为“存在”也有许多不同的意义。（注：1077b12—17。）究竟数学对象是怎么样的存在呢？